上周和朋友們聊天,講起各自家中小娃學(xué)數(shù)學(xué)的事,瞬間點(diǎn)燃了大家的歡樂之源,同時(shí)也讓同有人生迷茫之感的老父親老母親找到了戰(zhàn)友,在交流各自戰(zhàn)斗經(jīng)驗(yàn)的過程中,我們共同體會(huì)到:教自家娃學(xué)數(shù)學(xué)是一種坎坷經(jīng)歷,能體會(huì)到各種世事之艱難,人間之不值,實(shí)在是一場令人激動(dòng)的修煉。
交流中,大家普遍的困惑在于:孩子學(xué)數(shù)學(xué),很多時(shí)候看似明白了,但只要過一段時(shí)間就會(huì)遺忘,或者換一種形態(tài)就迷惑了。換言之,就是孩子對數(shù)學(xué)的理解非常之膚淺,觸及不到數(shù)學(xué)的核心結(jié)構(gòu),而家長也缺乏方法幫助孩子擴(kuò)展對數(shù)學(xué)理解的廣度和深度,使得孩子的學(xué)習(xí)在淺層徘徊。
另一個(gè)困境在于,數(shù)學(xué)是對思維的探究和淬煉,但思維是無形的,教學(xué)往往只能從問題出發(fā),最終又回歸問題解答來驗(yàn)收學(xué)習(xí)效果,結(jié)果很容易丟失學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì),忽略理解的過程,最后大家都盯著題目,所以刷題式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)越來越低齡化,因?yàn)榇蠹铱床坏降诙l路。
但是,所有學(xué)習(xí)中孩子沒有搞清楚的細(xì)小問題,并不會(huì)隨著年齡增長自然消失,最后都會(huì)匯聚起來,在某些階段集中爆發(fā),可能是在學(xué)習(xí)加減運(yùn)算的階段,或者在學(xué)習(xí)混合運(yùn)算的階段,亦或者在應(yīng)用題上。當(dāng)在刷題學(xué)習(xí)中掩蓋的隱形問題上升為顯性問題,老父親和老母親的硬核游戲就此展開一段精彩刺激的歷程。
所以,每一個(gè)孩子暴露出來的數(shù)學(xué)顯性問題,都必定有一個(gè)隱藏的思維關(guān)卡被忽略,沒有通關(guān)。如果我們真正想治標(biāo)治本,或許我們可能就要放慢腳步,退一步去尋找孩子思維上的原因。
正如莎倫.格里芬在《學(xué)生是如何學(xué)習(xí)的》叢書中所言:“獲得對數(shù)的理解是一個(gè)漫長、漸進(jìn)的過程?!?/strong>
慢,有時(shí)并不是問題,不理解才是。
被忽略的思維關(guān)卡造成了怎樣的障礙?
記得有一次,我和我父親在聊天時(shí)我對著他叫了一聲“爸爸”,當(dāng)時(shí)還在上中班的大娃聽到了,眼睛瞪得賊圓,劈面斧正道:“不對,那是爺爺,不是爸爸,你才是爸爸!”所言之理直氣壯,令人呵呵。
從那天開始,我就開始天天給他放一首兒歌,就是現(xiàn)在各大商場門口搖搖椅上的經(jīng)典歌曲:“爸爸的爸爸是爺爺,爸爸的媽媽是奶奶……”雖然后來他已經(jīng)把這首兒童背的滾瓜爛熟,但是并沒有什么用——他依然認(rèn)為我喊我爸叫爸爸是不對的,要喊爺爺,并且言之灼灼:“爸爸的爸爸是爺爺嘛,你應(yīng)該喊爺爺”。
這使得我家的輩分一度發(fā)生量化寬松。
這是在家里。到了外面,孩子的社會(huì)性往往表現(xiàn)出這樣的情景:兩個(gè)小朋友搶一個(gè)玩具,雙方都非要那個(gè)被爭奪的玩具,老師就算再拿一個(gè)完全一樣的玩具來,也不一定會(huì)和解。
這些現(xiàn)象背后隱藏的思維問題到底是什么呢?
根據(jù)教科書的解釋,這叫幼兒的思維缺乏靈活性,常常會(huì)認(rèn)死理。究其原因,是因?yàn)楹⒆訉φ鎸?shí)世界的經(jīng)驗(yàn)相對較少,對各種模式關(guān)系了解的不夠造成的。事實(shí)上,孩子在很長的一段時(shí)間內(nèi),無法理解相對性的概念,以及事物的多樣性。
而那么這種相對思維的關(guān)卡,在數(shù)學(xué)的啟蒙上又會(huì)造成怎樣的障礙呢?我們往往忽略掉的又是什么?
數(shù)學(xué)思維中存在著大量的相對思維、辯證思維,抽象思維則是數(shù)學(xué)思維的核心部分。而相對性思維的發(fā)展不足,會(huì)阻礙孩子理解事物在兩個(gè)維度上的同時(shí)變化,進(jìn)而影響孩子抽象思維的發(fā)展。
我們?nèi)菀缀雎缘氖?,思維有的時(shí)候很難隨著自然生長而自動(dòng)進(jìn)化,或者說,生理上的因素只是給了我們提供了基礎(chǔ)條件,但建構(gòu)思維需要一些激發(fā),以及思考的持續(xù)練習(xí)。從建構(gòu)思維大廈的角度來說,沒有一種思維是可以憑空建立的,需要有思維的層層奠基。
讓我們來看一個(gè)實(shí)際的案例,講一道大家耳熟能詳,已經(jīng)被講爛掉的數(shù)學(xué)題——雞兔同籠。從另一個(gè)角度來說,這道被講爛的題目又可能是我們幾代人的共同噩夢。
籠子里一共關(guān)著8只雞和兔,籠子下面露出20只腳,請問雞和兔各有幾只?
雞兔同籠問題為什么成為經(jīng)典數(shù)學(xué)題,歷經(jīng)一千多年而不衰?除了數(shù)學(xué)方程意義上的價(jià)值之外,更重要的方面在于這道題體現(xiàn)了兩種量的同時(shí)變化——雞和兔,頭和腳。
雞兔腦袋的數(shù)量是合并出現(xiàn)的,腳的數(shù)量也是合并出現(xiàn)的,我們沒有辦法立即去確定其中任何一方的數(shù)量,導(dǎo)出另一方的數(shù)量,這使得我們的大腦產(chǎn)生了很大的困擾,我們需要設(shè)計(jì)新的大腦路徑去思考這個(gè)問題。
首先我們需要接受數(shù)量是會(huì)相對變化的這一現(xiàn)實(shí),然后在這種相對變化中,運(yùn)用想象營造出一種確定性去替換這種相對性,慢慢找出一條新的路徑,在這個(gè)過程中,大腦會(huì)非常的不適應(yīng),但這正是需要我們?nèi)タ朔摹?/p>
在變化中,尋找不變的因素,運(yùn)用想象構(gòu)建一種新平衡。所以有人想出了換元法:想象把所有的兔子都換成雞。又有人想出了砍腳法:想象把所有的兔子腿都砍下兩只(可愛的兔兔怎么忍心下得了手??。?。
其實(shí)具體什么方法并不重要,重要的是在找尋方法、或者理解方法的過程中,我們認(rèn)識(shí)到事物的兩維變化,所以用矩形的長寬兩維變化來表征問題中的頭數(shù)與腳數(shù),能更直觀的讓我們理解究竟發(fā)生了什么。
這樣的兩維變化,實(shí)質(zhì)上就是相對性思維的體現(xiàn),對我們思維的辯證性提出了挑戰(zhàn)。其實(shí)不只是孩子,即便很多成年人也依然存在理解障礙。其實(shí)質(zhì)在于我們的大腦傾向接受確定性的結(jié)論,不太能接受相對和變化。換一種說法,大腦的底層本質(zhì)是一個(gè)記憶工具,思維功能是后天慢慢建構(gòu)、不斷磨礪才能熟練應(yīng)用。
我們有沒有解決之道?
關(guān)于相對性的思維難關(guān),我之前也和其他家長分享過,有家長跟我反饋說:“夏老師,我仔細(xì)把這個(gè)問題放到我家孩子身上想了一遍,估計(jì)他是明白不了這個(gè)相對性的,你有米有啥子方法可以很快讓孩子理解呢?”
數(shù)學(xué)從學(xué)科角度來看,是反人性的。這個(gè)反人性沒有任何貶義的意思,而是數(shù)學(xué)思維不是遵循人類的常規(guī)思維往前推進(jìn)的學(xué)科,是另辟蹊徑、精細(xì)分析的思維產(chǎn)物。同時(shí),數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),可以看作是對我們思維的磨礪,既說是磨礪,自然是有跡可循,卻無捷徑可言。
就拿“爸爸的爸爸是爺爺”這個(gè)例子而言,孩子最后是怎么理解這個(gè)情景中相對性的問題呢?當(dāng)他去到別的同學(xué)家里,發(fā)現(xiàn)他們同學(xué)的爸爸也在喊爺爺爸爸,甚至身邊的長輩也在喊父輩爸爸,最后他發(fā)現(xiàn)在他身邊遇到的所有的人都是這樣,這樣他就會(huì)生出一種反思——之前的想法是不是有問題?
我們把這種思維上因矛盾沖突形成的反思稱為元認(rèn)知,而這種元認(rèn)知的啟動(dòng),需要建立在孩子的經(jīng)歷增多的基礎(chǔ)之上。
同樣的,學(xué)數(shù)學(xué)也是如此。孩子需要積累大量的相對性感性經(jīng)驗(yàn),才可能開始理解抽象性和相對性。
讓我從孩子最早期認(rèn)識(shí)數(shù)量的階段開始講起:
1、2、3、4、5、6、7這些數(shù)字的本質(zhì)并不是冷冰冰的符號(hào),在它們的背后是實(shí)實(shí)在在存在著的物體數(shù)量,所以從這個(gè)角度來說,數(shù)學(xué)并不是一本關(guān)于數(shù)字的學(xué)問,而是關(guān)于數(shù)量的學(xué)問。
數(shù)字用了一種比日常語言(諸如:很多,一點(diǎn),更多之類)更為精確的表述方式來表達(dá)數(shù)量,但是數(shù)字對數(shù)量的表達(dá)又是相對和抽象的,比如5這個(gè)數(shù)字,就不是絕對的表達(dá)為5個(gè)蘋果,而是可以表達(dá)任何關(guān)于5數(shù)量的事物,這就呈現(xiàn)出一種事物的多樣性,多樣性歸結(jié)于一個(gè)數(shù)字5,顯示出來的是5這個(gè)數(shù)字的抽象性。
所以這里的認(rèn)識(shí)邏輯是:認(rèn)識(shí)多樣性——感受相對性——產(chǎn)生抽象性。
如果孩子沒有認(rèn)識(shí)到5這個(gè)數(shù)字可以表達(dá)了多樣性事物的具體數(shù)量,比如孩子只認(rèn)為“5”就是五個(gè)蘋果的絕對表達(dá),那么在后面的階段學(xué)習(xí)中,他就很難理解5筐蘋果,每筐5個(gè)的相對變化,進(jìn)而對乘法中兩個(gè)維度的變化無法理解。
很多孩子在學(xué)習(xí)乘法提取公因式中常常會(huì)犯一個(gè)錯(cuò)誤,他們會(huì)把:3×7+2×3+3轉(zhuǎn)化成3×(7+2+3),沒有發(fā)現(xiàn)最后一項(xiàng)“3”其實(shí)是“1個(gè)3”可以轉(zhuǎn)換成“1×3”,本質(zhì)上就對數(shù)字表達(dá)內(nèi)涵的多樣性、相對性沒有充分的理解。
家長要在孩子早期認(rèn)識(shí)數(shù)字的時(shí)候,就能夠充分地幫助他去發(fā)現(xiàn)生活中數(shù)字的不同內(nèi)涵,更重要的是在分類后,幫助他發(fā)現(xiàn)在不同層次的事物中,數(shù)字都能表達(dá)數(shù)量,那么孩子就會(huì)獲得最大量的數(shù)量多樣性的經(jīng)驗(yàn)樣本,對孩子相對性思維、辯證邏輯、抽象性思維的萌發(fā)有著很重要的意義。
比如“5”,可以用來表達(dá)5個(gè)人,進(jìn)而可以表達(dá)5個(gè)男人、5個(gè)女人、5個(gè)老人或5個(gè)小孩,那么,孩子在“人”這個(gè)結(jié)構(gòu)層次上,立體的理解了“5”這個(gè)數(shù)量。
再比如“5”也可以表達(dá)5次掌聲、5聲喝彩、刮5次鼻子、眨5次眼睛,在這個(gè)層面上“5”又代表了非實(shí)物或者是動(dòng)作的數(shù)量,在這個(gè)層面上,孩子對抽象性的理解又進(jìn)了一步。古希臘哲學(xué)說“物理學(xué)之后”,意思就是思維不是眼見,眼見只是虛像,這樣的思緒直接帶出了抽象邏輯觀念。
進(jìn)而,我們還可以讓孩子去感受“5”個(gè)音符、“我想吃蘋果”是“5”個(gè)字,“5”句祝福的話,甚至5個(gè)5等等。在字符符號(hào)等更抽象的層面感知“5”這個(gè)數(shù)量。這樣又使得孩子對抽象的認(rèn)識(shí)有了更深的感性積累。
十九世紀(jì)歐洲算術(shù)書有一首古老的歌謠:
我赴圣地愛弗西
途遇婦女?dāng)?shù)有七
一人七袋手中提
一袋七貓數(shù)整齊
一貓七子緊相依
婦與布袋貓與子
幾何同時(shí)赴圣地
無獨(dú)有偶,這樣數(shù)量分組包含、階乘的結(jié)構(gòu)形式,在安野光雅的《壺中的故事》繪本中也得到了充分的體現(xiàn):
一個(gè)壺里有一片海;海上有1個(gè)小島;島上有2個(gè)國家;2個(gè)國家里各有3座山;3座山上各有4座城堡;4座城堡里各有5個(gè)村莊;5個(gè)村莊里各有6棟房子;6棟房子里各有7間房間;7間房間里各有8個(gè)柜子;8個(gè)柜子里各有9只箱子;9只箱子里各有10個(gè)壺;最后算一下有3628800個(gè)壺。
這都很好的體現(xiàn)出數(shù)字代表量的相對性和抽象性,不妨念給孩子聽聽,問問他們的感受。
當(dāng)然,如果僅僅是用上面列舉的那些方法,讓孩子去感知生活中數(shù)代表的實(shí)際數(shù)量的情形,還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,這種單項(xiàng)的輸入模式并不能確保孩子能夠主動(dòng)建構(gòu)出對數(shù)量多元的認(rèn)識(shí),需要有孩子主動(dòng)的輸出,也需要成年人幫助孩子進(jìn)行總結(jié)。這里提兩個(gè)比較重要的方法:
第一、孩子需要進(jìn)行數(shù)量的“轉(zhuǎn)換表征”。
第二、成年人需要向孩子展示數(shù)表征的主要形式。
轉(zhuǎn)換表征
先說說“轉(zhuǎn)換表征”,這什么意思呢?簡單的說,就是一種關(guān)系的對應(yīng)比喻,比方說:我們孩子去幼兒園,有時(shí)候老師會(huì)給孩子貼笑臉,笑臉代表孩子在某些行為符合要求,一個(gè)笑臉就代表符合一次要求,這就可以看做是一種表征。
或者我們?nèi)ビ螛穲@,玩好回家,請孩子數(shù)一數(shù)還有多少個(gè)代幣沒用掉。當(dāng)然孩子可以用數(shù)字來表達(dá),告訴我們還剩10個(gè)代幣等等,但是這不是表征,只是單純的計(jì)數(shù),轉(zhuǎn)換表征是要孩子用另一種方式來比喻,比方說畫10個(gè)點(diǎn)點(diǎn)代表還剩10個(gè)代幣,或者撕10張便簽紙代表10個(gè)代幣等等。
這種方法,從本質(zhì)上是讓孩子對數(shù)量多樣性認(rèn)識(shí)的一種應(yīng)用,或者說是一種表征的練習(xí),如果再進(jìn)一步,就接近數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)了,也能從中生發(fā)出一些推理和分析,比如誰多誰少之類的問題。
成年人需要向孩子展示數(shù)表征的主要形式
這指的是:孩子在一開始進(jìn)行數(shù)量表征的時(shí)候,往往采用的方式是用一樣實(shí)物來表征另一樣實(shí)物,比如用6塊積木代表家里的6個(gè)人,但是慢慢的,對孩子思維的要求要提升,我們就需要給孩子呈現(xiàn)一些更為抽象的表征方式,比如前面說的用“點(diǎn)”來表示,也就是用“圖像”等等。
一般來說,從易到難,我們成人能夠向孩子展示的主要表征方式包括:
實(shí)物的表征
圖像的表征
線表征(數(shù)軸或棋盤中的步數(shù))
柱狀圖表征
刻度盤的環(huán)形表征
這樣多樣式的表征展示,其目的在于幫助孩子建立表征的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),讓孩子對數(shù)量的表征能夠變的更多維和豐富,從而使得對數(shù)的相對性及抽象性理解的更充分。
當(dāng)然,上述的不同表征類型不是一下子全部展示給孩子的,而是應(yīng)該在孩子的表征活動(dòng)過程中,慢慢向孩子揭開畫卷,并且要讓孩子在活動(dòng)中使用的。
最后說兩句,回到我們今天所聊的主題:孩子數(shù)學(xué)啟蒙中的一個(gè)隱藏思維關(guān)卡——思維的相對性。以上說的內(nèi)容也只是相對性思維解鎖的一個(gè)方面,除了數(shù)量的深入認(rèn)識(shí)之外,兒童在高矮、長短、寬窄等物體量的相對性認(rèn)識(shí),以及對多項(xiàng)比較時(shí)候的相對性(比如大中小的比較排序,等量代換等內(nèi)容)上,也存在需要攻克的思維難關(guān),需要更多的活動(dòng)去支撐孩子們理解。
而在這些基礎(chǔ)的認(rèn)知完成后,當(dāng)孩子進(jìn)入運(yùn)算的認(rèn)識(shí),依舊還面臨相對性問題的挑戰(zhàn)。
比如在加法的學(xué)習(xí)中,理解數(shù)量合并的加法比較容易,如小明有3只蘋果,花花又給了他1顆,小明一共有多少顆蘋果?對這樣的問題,孩子很快能夠理解3+1=4。但是在相對性的比較問題面前,同樣是加法,孩子就較難理解:比如小明有2顆蘋果,花花比小明多3顆,問花花一共有多少顆?
所以還是這句話,數(shù)學(xué)題的答案容易獲得,但思維的養(yǎng)成非一日之功,在一個(gè)數(shù)字或一個(gè)算式背后,隱藏著非常豐富的內(nèi)涵,如果我們把數(shù)學(xué)僅僅看作是一種結(jié)論或固定的解答程序,我們就無法真正認(rèn)識(shí)它。
這種無法認(rèn)識(shí),指的不僅僅是數(shù)學(xué),更是對這個(gè)多變復(fù)雜的世界,那些包含無限可能性的萬物的多重變化的不可知,而數(shù)學(xué),在這種流變的不確定之中,給我們提供了一種認(rèn)識(shí)真實(shí)的穩(wěn)定可能。
只不過對我們的孩子而言,需要成人用持續(xù)的耐心,來幫助他們解鎖那隱藏思維關(guān)卡中的智慧閃光。
本文轉(zhuǎn)載自微信公眾號(hào)“外灘教育”,作者夏駿軼。文章為作者獨(dú)立觀點(diǎn),不代表芥末堆立場。
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