如果給全世界學生最討厭的學科排個名，我相信數(shù)學八成會勇奪第一（中國唯一能夠撼動數(shù)學課這個地位的，估計只有政治課）。雖然很多人討厭這門課，卻也都不否認數(shù)學的重要性，無論曾經(jīng)是學霸還是學渣，一旦變身為家長，立刻就會極盡手段逼迫孩子學好數(shù)學。

但是，當我們希望孩子學好數(shù)學的時候，我們真的是希望他“數(shù)學”好，還是希望他“數(shù)學考試成績”好？當我們談論數(shù)學時，我們究竟在談什么？

學數(shù)學，究竟有什么用？

我不想說什么“無用之用，方為大用”這種聽了會打瞌睡的話（實際上除了“數(shù)論”研究的少數(shù)領(lǐng)域之外，那些我們曾經(jīng)以為很無用的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，比如圓錐曲線、群論、非歐幾何……都已經(jīng)在各個對現(xiàn)代文明至關(guān)重要的領(lǐng)域里成了核心基礎）。

數(shù)學的力量，首先在于把復雜問題簡單化，那些簡單的模型，可以幫助我們解決極端復雜的問題。

舉個例子，二進制，這個世界上最簡單的計數(shù)方式，只有0和1兩個數(shù)字符號。除了計數(shù)之外，這兩個數(shù)字還能表示邏輯中的“是”與“非”。十九世紀英國的一位中學數(shù)學老師布爾，就根據(jù)二進制的第二個特征，發(fā)明了用數(shù)學運算解決邏輯問題的方法，這個方法，現(xiàn)在被稱為布爾代數(shù)。

喬治·布爾（George Boole，1815~1864）

布爾代數(shù)非常簡單，幾句話就可以說明白。整個運算的元素只有兩個：1（代表是），0（代表非）。全部運算也只有與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種。

比 如

在AND運算中，“大肚皮老師是男的”這個判斷為“是”（1），“大肚皮老師有四條腿”這個判斷為“非”（0），那么，“大肚皮老師是男的并且有四條腿”這個判斷就為“非”（0）。

在OR的運算中，“大肚皮老師比賽得了第一名”的判斷為“非”（0），“小葉老師比賽得了第一名”的判斷為“是”（1），那么，“大肚皮老師或者小葉老師得了比賽的第一名”的判斷就為“是”（1）。

NOT運算就更簡單了，“大肚皮老師是男的”這句判斷為“是”（1），那么，“大肚皮老師不是男的”這句判斷就為“非”（0）。

這些就是布爾代數(shù)的全部內(nèi)容，是不是超級簡單？這么簡單的東西，能用來做什么？

克勞德·艾爾伍德·香農(nóng)（Claude Elwood Shannon，1916-2001）

1938年，香農(nóng)博士提出了用布爾代數(shù)來實現(xiàn)開關(guān)電路的想法，所有的數(shù)學和邏輯運算，加減乘除開方乘方等等，全都能轉(zhuǎn)換成二值的布爾運算。正是依靠這一點，以布爾代數(shù)作為數(shù)字電路的基礎，人類用一個個開關(guān)電路最終搭出了世界上第一臺電子計算機。

《模仿游戲》

從《模仿游戲》電影里那個咔咔作響的巨型機器，到今天每個家庭桌子上的筆記本、臺式機，以及我們看到的電腦頁面、搜索引擎，不論在工程上如何復雜，原理上依然簡單，即等價于布爾運算。

就是這樣一個簡簡單單的運算方式，甚至一直到布爾去世，都沒人認為他是一個數(shù)學家，卻帶給了我們一個看待世界的全新視角，開創(chuàng)了今天的數(shù)字化世界。

這就是數(shù)學的力量，或者說，這就是數(shù)學思維的力量。

再舉一個略顯復雜的例子：概率論。在十九世紀之前，概率論一直局限于對靜態(tài)的隨機變量的研究，但十九世紀之后，發(fā)展到了對隨機變量的時間序列的研究。也就是從隨機變量的研究發(fā)展到了對隨機過程的研究，這個發(fā)展在哲學意義上被認為是人類認知的一次飛躍。但是，隨機過程的計算要復雜得多。

比如我們要研究一個城市里每天的最多人口數(shù)的話，這里面每個狀態(tài)都是隨機的，而且任意狀態(tài)都可能和周圍其他的狀態(tài)相關(guān)，比如任何一天的最多人口數(shù)，與這段時間之前的最多人口數(shù)是相關(guān)的。

這樣隨機過程就有了兩個維度的不確定性，數(shù)學家為了解決這個問題，提出了一種簡化的假設，即隨機過程中的各個狀態(tài)，只與前一個狀態(tài)有關(guān)。比如對一個城市的最多人口的研究，硬性規(guī)定今天的最多人口數(shù)只與昨天有關(guān)，而與前天無關(guān)。

雖然這種假設未必適合所有的應用，但是至少對以前不好解決的問題給了近似解，這個假設后來被命名為馬爾可夫假設，而符合這個假設的隨機過程，被稱為馬爾可夫鏈。

馬爾可夫鏈

20世紀80年代末期，李開復采用隱含馬爾科夫模型的框架，成功研發(fā)出了世界上第一個大詞匯連續(xù)語音識別系統(tǒng)Sphinx。最近二十年，隱含馬爾科夫模型陸續(xù)成功應用于機器翻譯、拼寫糾錯、圖像處理、基因序列分析等等多個領(lǐng)域，直到今天，馬爾可夫模型還廣泛應用于股票預測和投資。

牛頓說：真理在形式上從來都是簡單的，而不是復雜和含混的。

也許有人會認為，數(shù)學問題只在理工方向有用，而對于希望往文科領(lǐng)域發(fā)展的人意義不大。那我們看另外一個例子，關(guān)乎歷史的，我們先看一組數(shù)據(jù)：

• 中國第一個大一統(tǒng)王朝，秦朝建立的時候，人口數(shù)大約是4500萬，十四年之后秦朝滅亡，楚漢戰(zhàn)爭，到漢初的時候人口不足2000萬。

• 接下來是文景之治，人口開始緩慢恢復，到了漢武帝，人口又到了4000萬，漢武帝窮兵黷武，導致全國人口減半，最低的時候又到回了2000萬的規(guī)模。

• 然后是昭宣中興，到了漢平帝，人口超過了五千萬，結(jié)果王莽篡位西漢滅亡，諸侯紛爭，到了東漢初年，人口又回到了2000萬，然后又是光武中興，人口再度緩慢恢復。

即便我們沒有看過馬爾薩斯的《人口論》，也會發(fā)現(xiàn)歷史好像有個人口的天花板，超過這個天花板就會爆發(fā)饑荒、戰(zhàn)爭，導致人口銳減，接下來又是緩慢的盛世中興，開始另一個循環(huán)周期。

《人口論》馬爾薩斯

如果把時間尺度擴大到整個人類歷史，就會發(fā)現(xiàn)同樣的循環(huán)周期在過去幾千年里重復上演。（粗略來說，就是人口的增長受土地等生活資料的限制，食物的供給達不到人口數(shù)量的增長速度，就必然導致災難。但要注意，工業(yè)革命之后，這種循環(huán)就被打破了，中國近現(xiàn)代的一些大饑荒、人口銳減，純粹是執(zhí)政者的倒行逆施造成的。）

現(xiàn)在越來越多的學者開始從數(shù)學角度，來發(fā)掘人類歷史中的現(xiàn)象和規(guī)律，這門新科學被稱為計量歷史學。

所以有歷史學家認為，人類歷史上實際只發(fā)生了一件事情，那就是工業(yè)革命。

我們看到，數(shù)學不僅僅只能應用在理工領(lǐng)域，這種高度抽象的能力、用簡單模型處理復雜事物的方式，會給我們的世界打開一扇新的大門。

許晨陽博士說：這個世界很大，人類想要掌握它的規(guī)律的話，需要一定的語言，需要一定的描述方式。數(shù)學某種程度上是描述世界的一種基本語言。并不是我們創(chuàng)造了它，而是它一直在那里，我們發(fā)現(xiàn)了它而已。它是一種藝術(shù)，一種結(jié)構(gòu)很美的東西。

如果你希望孩子領(lǐng)略一下數(shù)學世界的奇妙和美好，那么，大肚皮老師的數(shù)學課，會是一個不錯的選擇。

（本文轉(zhuǎn)自埃爾特訂閱號，作者張釋文）