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因?yàn)槲业膶?zhuān)業(yè)背景是數(shù)學(xué)教育，每次回國(guó)，都會(huì)被自己的親姐提前預(yù)約.

“你至少拿出一天給LL補(bǔ)補(bǔ)數(shù)學(xué)??！”。LL是我10歲的外甥，正上四年級(jí)，跟很多這個(gè)年齡的孩子一樣，不愛(ài)寫(xiě)作業(yè)。平時(shí)好說(shuō)，母慈子孝，一家子其樂(lè)融融，一寫(xiě)作業(yè)，特別是數(shù)學(xué)，立即雞飛狗跳。

LL爸的數(shù)學(xué)很好，平時(shí)待人接物耐心有禮，屬于情緒十分穩(wěn)定的那類(lèi)人。但一開(kāi)始輔導(dǎo)數(shù)學(xué)，就進(jìn)入著急上火模式。“這有什么難的！” LL爸想不通，這么簡(jiǎn)單的題目，為什么孩子就是不明白。

給幾個(gè)好朋友講完外甥的事后，大家忍不住回憶起了自己悲慘的童年數(shù)學(xué)往事。其實(shí)，不止國(guó)內(nèi)普遍，美國(guó)孩子學(xué)數(shù)學(xué)也存在不少障礙。這些障礙，既源自數(shù)學(xué)比較抽象的特點(diǎn) ，也和孩子的認(rèn)知規(guī)律有關(guān)，同時(shí)也和教授者的方式分不開(kāi)。

事實(shí)上，正是由于成年人無(wú)法體會(huì)孩子學(xué)數(shù)學(xué)的痛點(diǎn)，才讓做數(shù)學(xué)作業(yè)這個(gè)看似簡(jiǎn)單的事，成為一場(chǎng)父母和孩子之間的戰(zhàn)爭(zhēng)，且不斷升級(jí)。所以，

1. 數(shù)學(xué)到底難在哪里？

2. 孩子為什么不喜歡數(shù)學(xué)？

3. 作為父母又該怎么做呢？ 

數(shù)學(xué)難在哪里？

The Curse of Knowledge 知識(shí)的詛咒

知識(shí)的詛咒指的是一種認(rèn)知偏見(jiàn)。意思是說(shuō)，掌握了某種技能和知識(shí)的人，無(wú)法體會(huì)未知者的痛苦。1990年，斯坦福的一個(gè)研究生Elizabeth Newton做了一個(gè)簡(jiǎn)單有趣的實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證這一點(diǎn)。

Newton把實(shí)驗(yàn)者分為兩組，讓第1組的人用手敲擊出一個(gè)人們非常熟悉的旋律節(jié)拍，比如《祝你生日快樂(lè)》，然后讓第二組人猜這個(gè)旋律是什么。之后，再讓第1組的人預(yù)估第2組的猜中率。

敲節(jié)拍的一組人認(rèn)為正確率應(yīng)該在80%左右－這么熟悉的旋律，這么簡(jiǎn)單的節(jié)拍，有什么難的？

而事實(shí)上，第二組人猜出旋律的真實(shí)比例僅僅是20%。

當(dāng)成年人氣急敗壞地說(shuō)“這有什么難的！”時(shí)候，不過(guò)是被知識(shí)詛咒了而已。

對(duì)于成年人而言，1+1＝2不言自明，沒(méi)什么可解釋的。但是這個(gè)簡(jiǎn)單的算式中，其實(shí)包涵了一個(gè)復(fù)雜的認(rèn)知過(guò)程。

孩子最初對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，基于生活中的“量”，比如一個(gè)蘋(píng)果。

最開(kāi)始，我們拿一個(gè)蘋(píng)果放在小朋友面前，告訴他這是1；之后這個(gè)蘋(píng)果可能被一個(gè)畫(huà)著蘋(píng)果的卡片取代；接著卡片也沒(méi)有了，變成在紙上畫(huà)的一個(gè)蘋(píng)果，就像圖中看到的這樣。

然后突然之間，這些蘋(píng)果和蘋(píng)果的替代品都不見(jiàn)了，變成了一個(gè)和蘋(píng)果沒(méi)有任何關(guān)系的阿拉伯?dāng)?shù)字1。至此，一個(gè)實(shí)實(shí)在在的紅蘋(píng)果經(jīng)過(guò)幾步演變，成了一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念1。

換句話(huà)說(shuō)，孩子對(duì)數(shù)字的認(rèn)知過(guò)程里，經(jīng)歷了具體（蘋(píng)果）到半具體（印有蘋(píng)果的卡片），半抽象（紙上的圖畫(huà)）到抽象（阿拉伯?dāng)?shù)字）至少4個(gè)步驟。

對(duì)于成年人來(lái)說(shuō)，這個(gè)認(rèn)知關(guān)聯(lián)一步到位，不需要任何解釋。但是這對(duì)小朋友來(lái)說(shuō)，這是個(gè)頗為復(fù)雜的過(guò)程，每一步都需要一個(gè)推進(jìn)。

一個(gè)具體的、實(shí)在的紅蘋(píng)果，和一個(gè)寫(xiě)在紙上的1，怎么把這兩個(gè)貌似不相干的東西關(guān)聯(lián)起來(lái)，孩子需要在思維中完成一個(gè)巨大的飛躍，從具體上升到抽象。

接下來(lái)，當(dāng)孩子開(kāi)始認(rèn)識(shí)更大的數(shù)字時(shí)，他們能不能把一個(gè)抽象的阿拉伯?dāng)?shù)字和它所代表的 “數(shù)量“建立關(guān)聯(lián)，這是孩子培養(yǎng)數(shù)感的過(guò)程中非常重要的一步。

舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)，很多小朋友在剛開(kāi)始練習(xí)數(shù)數(shù)的時(shí)候，都是12345這樣數(shù)下去。數(shù)得很熟練，跟背英文字母abcd沒(méi)什么區(qū)別。

那么，5對(duì)于小朋友來(lái)說(shuō)到底是什么？ 僅僅是跟在4后面的那個(gè)數(shù)字嗎？還是代表了比4還大了1的數(shù)量總和？ 

了解了知識(shí)的詛咒之后，嘗試著去理解數(shù)學(xué)中從具體到抽象的認(rèn)知飛躍，再加上點(diǎn)同理心，或許成年人就可以慢慢戒掉類(lèi)似于 “這有什么難的”這樣的話(huà)了。

孩子為什么不喜歡數(shù)學(xué)?

在一次課題研究中，我和課題組的同事們接觸到了Amber。她當(dāng)時(shí)是美國(guó)公立學(xué)校一年級(jí)的小姑娘。我們給她出了一道題：16+9等于多少？

從上面圖中可以看到一個(gè)豎式，這就是典型練習(xí)冊(cè)里的豎式，我們每個(gè)人都不陌生。

Amber很努力地回憶加法的規(guī)則，然后她給出了一個(gè)答案，等于15。我們問(wèn)她，你確定你的答案是對(duì)的嗎？ 她確信地點(diǎn)點(diǎn)頭。

接著我們跟她說(shuō)，來(lái)，我們換一種方式來(lái)計(jì)算。然后，我們拿出幾個(gè)塑料數(shù)字，排成一橫排，16+9=？

 Amber開(kāi)始心算。美國(guó)小朋友都喜歡往上加，16、17、18、19，加完了之后她跟我說(shuō)，是25。

于是我們就問(wèn)她，為什么同樣都是16+9，卻得出了兩個(gè)不同的結(jié)果呢？這兩個(gè)答案是不是都對(duì)呢？

Amber認(rèn)真的思考之后告訴我們，兩個(gè)答案都對(duì)。

我們接著問(wèn)，那么在所有情況下，難道這兩個(gè)答案都對(duì)嗎？她想了想說(shuō)，都對(duì)。

為什么，小朋友會(huì)堅(jiān)信同一個(gè)問(wèn)題有兩個(gè)不同的答案呢？

在這里，我們有必要區(qū)分兩種非常重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，程序知識(shí)和概念知識(shí)。

Amber在做豎式的時(shí)候，她在使勁回憶豎式的規(guī)則，怎么個(gè)位相加，加完之后如何進(jìn)位。大家都知道，數(shù)學(xué)的規(guī)則特別重要，每個(gè)老師都會(huì)強(qiáng)調(diào)這些計(jì)算步驟，一點(diǎn)都不能搞錯(cuò)。

這種對(duì)于數(shù)學(xué)(運(yùn)算)規(guī)則的理解，我們稱(chēng)為程序知識(shí)（procedural knowledge）。做豎式，做分?jǐn)?shù)運(yùn)算，在數(shù)學(xué)的方方面面中，程序知識(shí)都是必不可少的。顯然，Amber在記憶這個(gè)規(guī)則的時(shí)候不知什么地方出了問(wèn)題，所以她才得出16+9＝15這個(gè)答案。

當(dāng)Amber在回憶16+9的豎式規(guī)則的時(shí)候，她腦子里肯定沒(méi)有想著，如果我有16個(gè)蘋(píng)果，再加多9個(gè)蘋(píng)果，一共會(huì)有多少蘋(píng)果？到底這個(gè)“量”的變化會(huì)是多少？她的注意力都在那些對(duì)她而言稀奇古怪的規(guī)則上面。

而當(dāng)我們用塑料數(shù)字拼出一橫排的16+9=？，Amber馬上能聯(lián)想到這其中數(shù)“量”的變化，所以她開(kāi)始用手指幫忙計(jì)算，一點(diǎn)一點(diǎn)加上去，直到得出25這個(gè)數(shù)字。在加法運(yùn)算中，這種對(duì)于量的變化的知識(shí)，我們就稱(chēng)為“概念知識(shí)”。很顯然，概念知識(shí)是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)核心。

缺乏概念知識(shí)， 就算把公式和規(guī)則背得再滾瓜爛熟，也總有忘記的時(shí)候；而只有充分掌握了概念，知道這些運(yùn)算的規(guī)則是怎么推導(dǎo)出來(lái)的，就算一時(shí)忘了公式也沒(méi)什么可怕的，大不了自己重新推導(dǎo)就可以了。

所以Amber的問(wèn)題出在哪兒呢？一方面，她的程序知識(shí)和概念知識(shí)脫節(jié)了。豎式，看起來(lái)多權(quán)威，在她心中，這才是正牌的數(shù)學(xué)。另一方面，15這個(gè)答案違背了她的生活經(jīng)驗(yàn)。現(xiàn)實(shí)生活中，她的經(jīng)驗(yàn)告訴她，16個(gè)蘋(píng)果再增加9個(gè)，明明就是25?。∮谑?，她對(duì)此的解釋是，兩個(gè)答案都對(duì)。

這個(gè)例子讓我們這些研究者驚訝的發(fā)現(xiàn)，小朋友的心中的數(shù)學(xué)是多么的脫離生活，不講道理。這也是為什么，我們經(jīng)常會(huì)聽(tīng)到孩子抱怨數(shù)學(xué)makes no sense (說(shuō)不通??！)。

讓孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)脫離常識(shí)，只看重規(guī)則，是家長(zhǎng)和老師的失敗。

美國(guó)數(shù)學(xué)研究有很多分支，近些年非常受到重視的一個(gè)分支，是研究學(xué)生是如何看待數(shù)學(xué)的，而他們對(duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度又是如何（相互）影響他的人格形成的。 其中，比較有代表性的研究來(lái)自斯坦福大學(xué)的Jo Boaler教授。

Boaler在研究中，對(duì)兩個(gè)學(xué)校的學(xué)生進(jìn)行了對(duì)比觀察。

她發(fā)現(xiàn)，因?yàn)榻虒W(xué)方式的不同，第一個(gè)學(xué)校的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥的，沒(méi)有道理可講，需要大量的死記硬背。這時(shí)候，即使有些學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)很好，他們也傾向于選擇遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)的職業(yè)。因?yàn)檫@些學(xué)生認(rèn)為自己是有創(chuàng)造力的，好奇愛(ài)動(dòng)腦的，因此數(shù)學(xué)不適合他們。

而第二個(gè)學(xué)校的學(xué)生，因?yàn)閷W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的體驗(yàn)不同，認(rèn)為數(shù)學(xué)是有挑戰(zhàn)性的，有趣的，他們對(duì)待數(shù)學(xué)的心態(tài)更開(kāi)放，也更愿意接受更多的職業(yè)嘗試。

父母能做些什么？

在數(shù)學(xué)成為一門(mén)學(xué)科，走進(jìn)學(xué)校，以及變成遍地開(kāi)花的補(bǔ)習(xí)班和一本本習(xí)題冊(cè)之前，它首先是人們用來(lái)認(rèn)識(shí)自然世界的基礎(chǔ)的方法之一。

數(shù)學(xué)之所以被發(fā)明出來(lái)，恰恰是因?yàn)槲覀兊纳钪须x不開(kāi)它。而現(xiàn)在歷經(jīng)數(shù)千年的演變，數(shù)學(xué)衍生出屬于它自己的語(yǔ)言和符號(hào)，一不小心，就變成高高在上，脫離生活的死板無(wú)聊的學(xué)科。

所以，作為父母能做什么？

1. 還原數(shù)學(xué)本來(lái)的樣子，讓它回歸生活

數(shù)感不是數(shù)（3聲）數(shù)（4聲），而是知道數(shù)“量”的變化是怎么來(lái)的，是去了解一種數(shù)量變化的因果關(guān)系。背熟9X9乘法表，或是熟記圓周率小數(shù)點(diǎn)之后100位，都跟數(shù)感一點(diǎn)關(guān)系沒(méi)有。

簡(jiǎn)單的說(shuō)來(lái)，切生日蛋糕，超市購(gòu)物，停車(chē)?yán)U費(fèi)，商品打折……日常生活中的方方面面都可以變成數(shù)學(xué)相關(guān)的對(duì)話(huà)。

比如，周末全家出游，要給車(chē)子加油，車(chē)子大概一公升油可以跑15公里，現(xiàn)在車(chē)?yán)镉?升油，手機(jī)查地圖看看距離，往返一共需要80公里。那么趕緊決定一下，現(xiàn)在是不是要加油了？ 

這就是生活中時(shí)常發(fā)生的對(duì)話(huà)，而這種對(duì)話(huà)的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)中的成比例思維。

我們首先是實(shí)實(shí)在在地跟一個(gè)數(shù)量打交道，然后才是把這個(gè)數(shù)量的變化用數(shù)學(xué)表達(dá)式體現(xiàn)出來(lái)。數(shù)學(xué)表達(dá)式，是用來(lái)體現(xiàn)數(shù)量變化的關(guān)系，而不是單純的符號(hào)游戲。

2. 多問(wèn)開(kāi)放型問(wèn)題，少問(wèn)封閉式問(wèn)題

與其隨時(shí)隨地抽查孩子的計(jì)算能力，不如問(wèn)問(wèn)孩子有趣的問(wèn)題。1+1人人都會(huì)，但是一條金魚(yú)和一條熱帶魚(yú)能不能相加？你能不能想出一個(gè)情景來(lái)？

如果換成1條金魚(yú)和2條水草呢？他們能不能相加？加起來(lái)是什么呢？同樣的，你能不能想出一個(gè)情景來(lái)？

鼓勵(lì)孩子去回答開(kāi)放性的問(wèn)題，并大力表?yè)P(yáng)他們腦洞大開(kāi)的想法，可以幫助孩子重新認(rèn)識(shí)什么是數(shù)學(xué)：它不僅僅是習(xí)題和唯一正確答案，更是一種思考方式，它有很多種可能性。

3. 給孩子營(yíng)造一個(gè)相對(duì)安全的環(huán)境，讓他們可以自由的提問(wèn)。

不要小看這一點(diǎn)，一個(gè)不敢自由提問(wèn)的孩子＋被知識(shí)詛咒了的父母，這個(gè)組合的結(jié)果一定是天怒人怨的。

前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)符號(hào)和表達(dá)式，經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)的從具體到抽象的演變，而這中間任何一個(gè)環(huán)節(jié)沒(méi)搞清楚，都會(huì)導(dǎo)致“不明白”。

上次給LL輔導(dǎo)數(shù)學(xué)題，我姐夫皺著眉頭說(shuō)，“小姨去幫LL加強(qiáng)一下面積和周長(zhǎng)的計(jì)算方法吧，講了無(wú)數(shù)次了，就是記不住?！?/p>

走進(jìn)房間，關(guān)上門(mén)，我跟LL說(shuō)，小姨在做一個(gè)教學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生都是跟你一樣的三年級(jí)小學(xué)生，所以今天要請(qǐng)你幫個(gè)忙，當(dāng)我的助教。

“小姨想知道怎么講面積和周長(zhǎng)的問(wèn)題，才能讓他們聽(tīng)明白，我在你身上實(shí)驗(yàn)一下可不可以？ ”

奠定了我們互動(dòng)的基調(diào)之后（至少讓LL知道，他的“不明白”實(shí)際對(duì)我是有幫助的），我設(shè)計(jì)了幾個(gè)題目，都跟周長(zhǎng)和面積有關(guān)系。

我不講公式，只講概念，十幾分鐘之后，我嘗試著問(wèn)LL，“所以你覺(jué)得面積和周長(zhǎng)這兩個(gè)東西，還有什么是其他的小朋友弄不懂的？”

他認(rèn)真想了半天，然后小心的說(shuō)，“為什么面積用乘法而周長(zhǎng)用加法？”

這個(gè)問(wèn)題，很多家長(zhǎng)聽(tīng)了之后怕是會(huì)晴天霹靂吧—豈不是講了半天全白費(fèi)了！

而實(shí)際上，一個(gè)孩子能這么發(fā)問(wèn)，至少說(shuō)明：

他很勇敢，不怕被訓(xùn)斥“怎么做了這么多題，還搞不清楚這么基本的概念？！”

能問(wèn)出這樣的問(wèn)題，說(shuō)明他認(rèn)真思考了這兩者的異同。

而我，終于知道他的問(wèn)題在哪里了！

同時(shí)，我也可以推想出，老師和家長(zhǎng)在講題的過(guò)程中，一定是更注重程序知識(shí)（“記住啊，面積就是長(zhǎng)成寬，周長(zhǎng)就是長(zhǎng)加寬加長(zhǎng)加寬”）而不是概念知識(shí)。

不要把孩子的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單的歸結(jié)為不認(rèn)真，記不住。這背后或許存在關(guān)鍵性的概念，需要我們幫助孩子一起去理清楚，弄明白。 

寫(xiě)在最后

學(xué)好數(shù)學(xué)，不等于把孩子變成計(jì)算機(jī)器。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，和數(shù)學(xué)建立某種關(guān)系，是孩子們成長(zhǎng)過(guò)程中的一部分。因?yàn)榇笕说慕箲]，疏忽，不耐煩，讓孩子早早形成對(duì)數(shù)學(xué)的偏見(jiàn)，排斥數(shù)學(xué)，這對(duì)孩子來(lái)說(shuō)并不公平。

的確，不是每個(gè)孩子長(zhǎng)大之后都能變成數(shù)學(xué)家。但是每個(gè)孩子，都至少應(yīng)該有機(jī)會(huì)學(xué)會(huì)用一種數(shù)學(xué)的思維去認(rèn)識(shí)我們身處的這個(gè)奇妙的自然和人文世界。

本文轉(zhuǎn)自微信公眾號(hào)“成長(zhǎng)合作社”，作者趙晴博士，原文標(biāo)題《數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)：寫(xiě)給小學(xué)生的父母》。更多嚴(yán)肅的教育理論分享，請(qǐng)關(guān)注“成長(zhǎng)合作社”。