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因為我的專業(yè)背景是數(shù)學(xué)教育，每次回國，都會被自己的親姐提前預(yù)約.

“你至少拿出一天給LL補(bǔ)補(bǔ)數(shù)學(xué)??！”。LL是我10歲的外甥，正上四年級，跟很多這個年齡的孩子一樣，不愛寫作業(yè)。平時好說，母慈子孝，一家子其樂融融，一寫作業(yè)，特別是數(shù)學(xué)，立即雞飛狗跳。

LL爸的數(shù)學(xué)很好，平時待人接物耐心有禮，屬于情緒十分穩(wěn)定的那類人。但一開始輔導(dǎo)數(shù)學(xué)，就進(jìn)入著急上火模式?！斑@有什么難的！” LL爸想不通，這么簡單的題目，為什么孩子就是不明白。

給幾個好朋友講完外甥的事后，大家忍不住回憶起了自己悲慘的童年數(shù)學(xué)往事。其實，不止國內(nèi)普遍，美國孩子學(xué)數(shù)學(xué)也存在不少障礙。這些障礙，既源自數(shù)學(xué)比較抽象的特點 ，也和孩子的認(rèn)知規(guī)律有關(guān)，同時也和教授者的方式分不開。

事實上，正是由于成年人無法體會孩子學(xué)數(shù)學(xué)的痛點，才讓做數(shù)學(xué)作業(yè)這個看似簡單的事，成為一場父母和孩子之間的戰(zhàn)爭，且不斷升級。所以，

1. 數(shù)學(xué)到底難在哪里？

2. 孩子為什么不喜歡數(shù)學(xué)？

3. 作為父母又該怎么做呢？ 

數(shù)學(xué)難在哪里？

The Curse of Knowledge 知識的詛咒

知識的詛咒指的是一種認(rèn)知偏見。意思是說，掌握了某種技能和知識的人，無法體會未知者的痛苦。1990年，斯坦福的一個研究生Elizabeth Newton做了一個簡單有趣的實驗來驗證這一點。

Newton把實驗者分為兩組，讓第1組的人用手敲擊出一個人們非常熟悉的旋律節(jié)拍，比如《祝你生日快樂》，然后讓第二組人猜這個旋律是什么。之后，再讓第1組的人預(yù)估第2組的猜中率。

敲節(jié)拍的一組人認(rèn)為正確率應(yīng)該在80%左右－這么熟悉的旋律，這么簡單的節(jié)拍，有什么難的？

而事實上，第二組人猜出旋律的真實比例僅僅是20%。

當(dāng)成年人氣急敗壞地說“這有什么難的！”時候，不過是被知識詛咒了而已。

對于成年人而言，1+1＝2不言自明，沒什么可解釋的。但是這個簡單的算式中，其實包涵了一個復(fù)雜的認(rèn)知過程。

孩子最初對數(shù)學(xué)的認(rèn)知，基于生活中的“量”，比如一個蘋果。

最開始，我們拿一個蘋果放在小朋友面前，告訴他這是1；之后這個蘋果可能被一個畫著蘋果的卡片取代；接著卡片也沒有了，變成在紙上畫的一個蘋果，就像圖中看到的這樣。

然后突然之間，這些蘋果和蘋果的替代品都不見了，變成了一個和蘋果沒有任何關(guān)系的阿拉伯?dāng)?shù)字1。至此，一個實實在在的紅蘋果經(jīng)過幾步演變，成了一個抽象的數(shù)學(xué)概念1。

換句話說，孩子對數(shù)字的認(rèn)知過程里，經(jīng)歷了具體（蘋果）到半具體（印有蘋果的卡片），半抽象（紙上的圖畫）到抽象（阿拉伯?dāng)?shù)字）至少4個步驟。

對于成年人來說，這個認(rèn)知關(guān)聯(lián)一步到位，不需要任何解釋。但是這對小朋友來說，這是個頗為復(fù)雜的過程，每一步都需要一個推進(jìn)。

一個具體的、實在的紅蘋果，和一個寫在紙上的1，怎么把這兩個貌似不相干的東西關(guān)聯(lián)起來，孩子需要在思維中完成一個巨大的飛躍，從具體上升到抽象。

接下來，當(dāng)孩子開始認(rèn)識更大的數(shù)字時，他們能不能把一個抽象的阿拉伯?dāng)?shù)字和它所代表的 “數(shù)量“建立關(guān)聯(lián)，這是孩子培養(yǎng)數(shù)感的過程中非常重要的一步。

舉個例子來說，很多小朋友在剛開始練習(xí)數(shù)數(shù)的時候，都是12345這樣數(shù)下去。數(shù)得很熟練，跟背英文字母abcd沒什么區(qū)別。

那么，5對于小朋友來說到底是什么？ 僅僅是跟在4后面的那個數(shù)字嗎？還是代表了比4還大了1的數(shù)量總和？ 

了解了知識的詛咒之后，嘗試著去理解數(shù)學(xué)中從具體到抽象的認(rèn)知飛躍，再加上點同理心，或許成年人就可以慢慢戒掉類似于 “這有什么難的”這樣的話了。

孩子為什么不喜歡數(shù)學(xué)?

在一次課題研究中，我和課題組的同事們接觸到了Amber。她當(dāng)時是美國公立學(xué)校一年級的小姑娘。我們給她出了一道題：16+9等于多少？

從上面圖中可以看到一個豎式，這就是典型練習(xí)冊里的豎式，我們每個人都不陌生。

Amber很努力地回憶加法的規(guī)則，然后她給出了一個答案，等于15。我們問她，你確定你的答案是對的嗎？ 她確信地點點頭。

接著我們跟她說，來，我們換一種方式來計算。然后，我們拿出幾個塑料數(shù)字，排成一橫排，16+9=？

 Amber開始心算。美國小朋友都喜歡往上加，16、17、18、19，加完了之后她跟我說，是25。

于是我們就問她，為什么同樣都是16+9，卻得出了兩個不同的結(jié)果呢？這兩個答案是不是都對呢？

Amber認(rèn)真的思考之后告訴我們，兩個答案都對。

我們接著問，那么在所有情況下，難道這兩個答案都對嗎？她想了想說，都對。

為什么，小朋友會堅信同一個問題有兩個不同的答案呢？

在這里，我們有必要區(qū)分兩種非常重要的數(shù)學(xué)知識，程序知識和概念知識。

Amber在做豎式的時候，她在使勁回憶豎式的規(guī)則，怎么個位相加，加完之后如何進(jìn)位。大家都知道，數(shù)學(xué)的規(guī)則特別重要，每個老師都會強(qiáng)調(diào)這些計算步驟，一點都不能搞錯。

這種對于數(shù)學(xué)(運算)規(guī)則的理解，我們稱為程序知識（procedural knowledge）。做豎式，做分?jǐn)?shù)運算，在數(shù)學(xué)的方方面面中，程序知識都是必不可少的。顯然，Amber在記憶這個規(guī)則的時候不知什么地方出了問題，所以她才得出16+9＝15這個答案。

當(dāng)Amber在回憶16+9的豎式規(guī)則的時候，她腦子里肯定沒有想著，如果我有16個蘋果，再加多9個蘋果，一共會有多少蘋果？到底這個“量”的變化會是多少？她的注意力都在那些對她而言稀奇古怪的規(guī)則上面。

而當(dāng)我們用塑料數(shù)字拼出一橫排的16+9=？，Amber馬上能聯(lián)想到這其中數(shù)“量”的變化，所以她開始用手指幫忙計算，一點一點加上去，直到得出25這個數(shù)字。在加法運算中，這種對于量的變化的知識，我們就稱為“概念知識”。很顯然，概念知識是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)核心。

缺乏概念知識， 就算把公式和規(guī)則背得再滾瓜爛熟，也總有忘記的時候；而只有充分掌握了概念，知道這些運算的規(guī)則是怎么推導(dǎo)出來的，就算一時忘了公式也沒什么可怕的，大不了自己重新推導(dǎo)就可以了。

所以Amber的問題出在哪兒呢？一方面，她的程序知識和概念知識脫節(jié)了。豎式，看起來多權(quán)威，在她心中，這才是正牌的數(shù)學(xué)。另一方面，15這個答案違背了她的生活經(jīng)驗?，F(xiàn)實生活中，她的經(jīng)驗告訴她，16個蘋果再增加9個，明明就是25啊！于是，她對此的解釋是，兩個答案都對。

這個例子讓我們這些研究者驚訝的發(fā)現(xiàn)，小朋友的心中的數(shù)學(xué)是多么的脫離生活，不講道理。這也是為什么，我們經(jīng)常會聽到孩子抱怨數(shù)學(xué)makes no sense (說不通?。?。

讓孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)脫離常識，只看重規(guī)則，是家長和老師的失敗。

美國數(shù)學(xué)研究有很多分支，近些年非常受到重視的一個分支，是研究學(xué)生是如何看待數(shù)學(xué)的，而他們對待數(shù)學(xué)的態(tài)度又是如何（相互）影響他的人格形成的。 其中，比較有代表性的研究來自斯坦福大學(xué)的Jo Boaler教授。

Boaler在研究中，對兩個學(xué)校的學(xué)生進(jìn)行了對比觀察。

她發(fā)現(xiàn)，因為教學(xué)方式的不同，第一個學(xué)校的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥的，沒有道理可講，需要大量的死記硬背。這時候，即使有些學(xué)生數(shù)學(xué)成績很好，他們也傾向于選擇遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)的職業(yè)。因為這些學(xué)生認(rèn)為自己是有創(chuàng)造力的，好奇愛動腦的，因此數(shù)學(xué)不適合他們。

而第二個學(xué)校的學(xué)生，因為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的體驗不同，認(rèn)為數(shù)學(xué)是有挑戰(zhàn)性的，有趣的，他們對待數(shù)學(xué)的心態(tài)更開放，也更愿意接受更多的職業(yè)嘗試。

父母能做些什么？

在數(shù)學(xué)成為一門學(xué)科，走進(jìn)學(xué)校，以及變成遍地開花的補(bǔ)習(xí)班和一本本習(xí)題冊之前，它首先是人們用來認(rèn)識自然世界的基礎(chǔ)的方法之一。

數(shù)學(xué)之所以被發(fā)明出來，恰恰是因為我們的生活中離不開它。而現(xiàn)在歷經(jīng)數(shù)千年的演變，數(shù)學(xué)衍生出屬于它自己的語言和符號，一不小心，就變成高高在上，脫離生活的死板無聊的學(xué)科。

所以，作為父母能做什么？

1. 還原數(shù)學(xué)本來的樣子，讓它回歸生活

數(shù)感不是數(shù)（3聲）數(shù)（4聲），而是知道數(shù)“量”的變化是怎么來的，是去了解一種數(shù)量變化的因果關(guān)系。背熟9X9乘法表，或是熟記圓周率小數(shù)點之后100位，都跟數(shù)感一點關(guān)系沒有。

簡單的說來，切生日蛋糕，超市購物，停車?yán)U費，商品打折……日常生活中的方方面面都可以變成數(shù)學(xué)相關(guān)的對話。

比如，周末全家出游，要給車子加油，車子大概一公升油可以跑15公里，現(xiàn)在車?yán)镉?升油，手機(jī)查地圖看看距離，往返一共需要80公里。那么趕緊決定一下，現(xiàn)在是不是要加油了？ 

這就是生活中時常發(fā)生的對話，而這種對話的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)中的成比例思維。

我們首先是實實在在地跟一個數(shù)量打交道，然后才是把這個數(shù)量的變化用數(shù)學(xué)表達(dá)式體現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)表達(dá)式，是用來體現(xiàn)數(shù)量變化的關(guān)系，而不是單純的符號游戲。

2. 多問開放型問題，少問封閉式問題

與其隨時隨地抽查孩子的計算能力，不如問問孩子有趣的問題。1+1人人都會，但是一條金魚和一條熱帶魚能不能相加？你能不能想出一個情景來？

如果換成1條金魚和2條水草呢？他們能不能相加？加起來是什么呢？同樣的，你能不能想出一個情景來？

鼓勵孩子去回答開放性的問題，并大力表揚他們腦洞大開的想法，可以幫助孩子重新認(rèn)識什么是數(shù)學(xué)：它不僅僅是習(xí)題和唯一正確答案，更是一種思考方式，它有很多種可能性。

3. 給孩子營造一個相對安全的環(huán)境，讓他們可以自由的提問。

不要小看這一點，一個不敢自由提問的孩子＋被知識詛咒了的父母，這個組合的結(jié)果一定是天怒人怨的。

前面已經(jīng)說過，數(shù)學(xué)符號和表達(dá)式，經(jīng)過了漫長的從具體到抽象的演變，而這中間任何一個環(huán)節(jié)沒搞清楚，都會導(dǎo)致“不明白”。

上次給LL輔導(dǎo)數(shù)學(xué)題，我姐夫皺著眉頭說，“小姨去幫LL加強(qiáng)一下面積和周長的計算方法吧，講了無數(shù)次了，就是記不住?！?/p>

走進(jìn)房間，關(guān)上門，我跟LL說，小姨在做一個教學(xué)實驗，學(xué)生都是跟你一樣的三年級小學(xué)生，所以今天要請你幫個忙，當(dāng)我的助教。

“小姨想知道怎么講面積和周長的問題，才能讓他們聽明白，我在你身上實驗一下可不可以？ ”

奠定了我們互動的基調(diào)之后（至少讓LL知道，他的“不明白”實際對我是有幫助的），我設(shè)計了幾個題目，都跟周長和面積有關(guān)系。

我不講公式，只講概念，十幾分鐘之后，我嘗試著問LL，“所以你覺得面積和周長這兩個東西，還有什么是其他的小朋友弄不懂的？”

他認(rèn)真想了半天，然后小心的說，“為什么面積用乘法而周長用加法？”

這個問題，很多家長聽了之后怕是會晴天霹靂吧—豈不是講了半天全白費了！

而實際上，一個孩子能這么發(fā)問，至少說明：

他很勇敢，不怕被訓(xùn)斥“怎么做了這么多題，還搞不清楚這么基本的概念？！”

能問出這樣的問題，說明他認(rèn)真思考了這兩者的異同。

而我，終于知道他的問題在哪里了！

同時，我也可以推想出，老師和家長在講題的過程中，一定是更注重程序知識（“記住啊，面積就是長成寬，周長就是長加寬加長加寬”）而不是概念知識。

不要把孩子的數(shù)學(xué)問題簡單的歸結(jié)為不認(rèn)真，記不住。這背后或許存在關(guān)鍵性的概念，需要我們幫助孩子一起去理清楚，弄明白。 

寫在最后

學(xué)好數(shù)學(xué)，不等于把孩子變成計算機(jī)器。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，和數(shù)學(xué)建立某種關(guān)系，是孩子們成長過程中的一部分。因為大人的焦慮，疏忽，不耐煩，讓孩子早早形成對數(shù)學(xué)的偏見，排斥數(shù)學(xué)，這對孩子來說并不公平。

的確，不是每個孩子長大之后都能變成數(shù)學(xué)家。但是每個孩子，都至少應(yīng)該有機(jī)會學(xué)會用一種數(shù)學(xué)的思維去認(rèn)識我們身處的這個奇妙的自然和人文世界。

本文轉(zhuǎn)自微信公眾號“成長合作社”，作者趙晴博士，原文標(biāo)題《數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭：寫給小學(xué)生的父母》。更多嚴(yán)肅的教育理論分享，請關(guān)注“成長合作社”。