試卷在桌上鋪開(kāi)，手里轉(zhuǎn)著紅筆。老師的聲音忽遠(yuǎn)忽近，粉筆嗒嗒地敲著黑板。你在大題的空白處寫(xiě)下“解”，試圖追上老師的思路。卻發(fā)現(xiàn)，恍神間老師的板書(shū)又領(lǐng)先了大半塊黑板……

提起數(shù)學(xué)，這大概會(huì)是很多人曾有的痛苦經(jīng)歷。不過(guò)，為什么我們要如此懼怕數(shù)學(xué)？嚇到我們的，是數(shù)學(xué)本身，還是它的外殼？

每當(dāng)影視劇想要塑造一個(gè)“數(shù)學(xué)家”形象時(shí)，都要把人擺到一塊平面前——黑板、屏幕、或者玻璃，然后無(wú)一例外地讓ta寫(xiě)算式畫(huà)符號(hào)。因?yàn)檫@就是我們對(duì)“數(shù)學(xué)家”的刻板印象：擺弄符號(hào)的人。

《美麗心靈》劇照

然而，沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家會(huì)說(shuō)那些符號(hào)就是數(shù)學(xué)。真正的數(shù)學(xué)在他們腦子里，他們玩的是觀念。不如想一想，那個(gè)沉迷dps算著暴擊的你，那個(gè)靠邏輯流發(fā)言控制全場(chǎng)的你，和那個(gè)在教室里被大半面板書(shū)嚇到的你，哪一次離數(shù)學(xué)更近？

數(shù)學(xué)，本應(yīng)該是無(wú)字的。

然而現(xiàn)有學(xué)校的數(shù)學(xué)教育方式，卻很難將無(wú)字?jǐn)?shù)學(xué)的觀念傳達(dá)給學(xué)生。思想必須以文字的形式印刷在課本上、或以語(yǔ)言在師生之間傳遞。學(xué)生很難有機(jī)會(huì)直接觸碰數(shù)學(xué)觀念。但是，游戲正把無(wú)字?jǐn)?shù)學(xué)變?yōu)榭赡?。下面我要介紹的三款游戲，分別把數(shù)字、方程和幾何概念變成了平板上與孩子交互的卡通形象。當(dāng)數(shù)學(xué)褪下符號(hào)外殼，披上游戲的華服，你是否還舍得拒絕它呢？

在操作中誕生數(shù)感

DragonBox Numbers

一個(gè)4歲的小女孩坐在地上，看著腿上的平板笑的開(kāi)心。她正用手指拖著色彩鮮艷的小怪物“喂”到一條更大的怪物口中。伴隨著溫柔的女聲“one plus two, three!”，一條更高的怪物出現(xiàn)了。這就是啟發(fā)孩子數(shù)感的游戲——DragonBox·Numbers。剛剛的怪物叫做“尼姆”（Nooms），在這個(gè)游戲中有九只。

就是這些小可愛(ài)

在DragonBox·Numbers中，孩子可以隨心所欲地操縱尼姆：一只尼姆張開(kāi)大口吞下另一只并長(zhǎng)高——這就是加法；尼姆被攔腰截?cái)喽纸狻@就是減法。要是孩子想要感受數(shù)字的大小順序，ta只要給尼姆們“比個(gè)頭”就可以。所謂數(shù)感，是對(duì)于“數(shù)字代表的意義”、“怎么運(yùn)用數(shù)字”的一種直觀的理解。DragonBox堅(jiān)信，數(shù)感是誕生于操作中，而非對(duì)數(shù)字的死記硬背。Numbers就是讓魔法誕生在指尖的神奇工具。

對(duì)尼姆的操作

2-7歲的孩子，正處于“見(jiàn)到什么都想抓來(lái)玩玩”的階段，因?yàn)檫@是他們認(rèn)識(shí)世界的方式——與具體的事物進(jìn)行交互，看看自己能對(duì)它們施加怎樣的影響。在著名的皮亞杰理論中，知識(shí)產(chǎn)生于動(dòng)作。而每當(dāng)我們教小孩子知識(shí)的時(shí)候，都在妨礙他們自己進(jìn)行探索。在啟蒙數(shù)感的方面，雖然小學(xué)的課本也使用了豐富的案例和圖畫(huà)，但游戲顯然在交互性上更勝一籌。

小學(xué)課本對(duì)加法的講解

除了在沙箱中自由操作尼姆，Numbers另提供了三個(gè)游戲場(chǎng)景讓孩子有目的地運(yùn)用數(shù)字。如用數(shù)字控制尼姆奔跑跳躍，避開(kāi)障礙吃到星星；利用尼姆完成不同形狀的拼圖?？梢钥吹竭@些場(chǎng)景從不同方面刻畫(huà)了數(shù)字：對(duì)數(shù)值的快速反應(yīng)、數(shù)字的幾何意義。最有深意的是“梯子”，這個(gè)場(chǎng)景中孩子可以把尼姆們堆疊起來(lái)，去夠到不同高度的數(shù)字——數(shù)軸的概念就如此自然地通過(guò)一個(gè)游戲中的梯子引入了。

我還記得小學(xué)里的數(shù)學(xué)課上攥著半截中華鉛筆，迷茫地畫(huà)著“5”的半圓。老師說(shuō)，要畫(huà)得格外圓、把方格都占滿(mǎn)，才好看。而我的心里卻想念著最?lèi)?ài)玩的五子棋，那伴隨著勝利的五顆棋子連成一線。對(duì)于孩子，數(shù)字只在有些時(shí)候格外迷人。而利用游戲，創(chuàng)造出孩子因?yàn)榕c數(shù)字互動(dòng)而雙眼放光的時(shí)刻，讓這個(gè)時(shí)刻成為孩子與數(shù)學(xué)的初次相見(jiàn)，多好。

用即時(shí)反饋訓(xùn)練解方程

Huynh是一名數(shù)學(xué)老師，“當(dāng)數(shù)學(xué)老師是個(gè)讓人失望的活兒，我可能只能教會(huì)百分之十的學(xué)生”，他這么在收集中說(shuō)道。然而，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)頭腦不差的學(xué)生依然在學(xué)方程上栽跟頭，他開(kāi)始反思是不是教育的方式出了問(wèn)題。如何能更直觀地體現(xiàn)方程的思想呢？“沒(méi)有合適的教學(xué)工具，于是我就自己做了一個(gè)”——這就是后來(lái)屢獲大獎(jiǎng)的DragonBox Algebra。

在DragonBox Algebra中，屏幕分成左右兩邊，四處散布著各種怪物：蜥蜴、魚(yú)、飛蛾……其中最特別的是一只躲在盒子里的小龍。這只小龍喜歡獨(dú)處，而玩家要做的就是通過(guò)操作其他的怪物，將小龍孤立在一邊，把其他怪物聚集到另一側(cè)?；叵胂挛覀兘夥匠痰牟襟E，自然可以聯(lián)想到，這只孤僻的龍就是“x”。

玩到后面，怪物悄然變成了數(shù)字和字母

游戲的一開(kāi)始，孩子要像“連連看”一樣，讓怪物與自己的“暗黑版本”合并，這是在強(qiáng)化“正負(fù)抵消”的概念；接下來(lái)出現(xiàn)了分號(hào)，要將同時(shí)出現(xiàn)在分號(hào)上下的怪物消去，即“化簡(jiǎn)”……隨著章節(jié)的推進(jìn)，有些怪物開(kāi)始被氣泡或冰塊圍住——這就是括號(hào)，孩子可以在操作中學(xué)到乘法分配律。前面的關(guān)卡中，孩子面對(duì)的是一只只怪獸；玩到后面，怪物悄然變成了數(shù)字和字母，曾令人頭痛的方程就在眼前，但他們?nèi)匀豢梢詷?lè)此不疲。

在解方程式時(shí)最需注意的是在等式兩邊始終保持同樣的操作。多少次的考試，我因?yàn)椤奥┏艘粋€(gè)數(shù)”這種小疏忽而懊悔不已。但在傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式中，我最多能得到延遲的反饋——一個(gè)紅叉，這并不是塑造解題習(xí)慣的最好時(shí)機(jī)。而游戲的即時(shí)反饋能讓我們?cè)诔鲥e(cuò)當(dāng)場(chǎng)就得到糾正。在Algebra中，當(dāng)我向左半邊放入一個(gè)怪物，那么右半邊就立即多出一個(gè)框，等待著我把同樣的怪物填到里面，否則就無(wú)法進(jìn)行下去。這個(gè)機(jī)制就像一個(gè)安靜的數(shù)學(xué)老師陪在身邊，隨時(shí)指出我的錯(cuò)誤，又不會(huì)讓我有挫敗感（游戲中的反饋可比考試卷上的紅叉溫柔太多了）。

即時(shí)反饋（截圖自DragonBox視頻介紹）

讓幾何重歸無(wú)字

歐氏幾何一向是“甲之蜜糖，乙之砒霜”。學(xué)得懂的人，愛(ài)它的嚴(yán)謹(jǐn)和靈活。另一部分人則稱(chēng)“永遠(yuǎn)弄不明白要怎么想”。其實(shí)，他們需要被引導(dǎo)，思考“為什么這么做”，形成策略。可惜的是，在學(xué)幾何時(shí)我們把精力放在背熟定理上，做幾何題時(shí)又花大量時(shí)間書(shū)寫(xiě)模板化的證明過(guò)程。對(duì)文字與符號(hào)的強(qiáng)調(diào)越多，思維的自由空間越小。如果歐幾里得生活在當(dāng)代，他會(huì)怎樣教幾何？

游戲。幾何證明本身就像一個(gè)開(kāi)放度很高的游戲：在一個(gè)場(chǎng)景中，自由地運(yùn)用各種規(guī)則達(dá)成某個(gè)目標(biāo)。幾何直觀具體的特性也讓它格外適合用游戲展現(xiàn)。這就是我要介紹的第三個(gè)游戲——DragonBox Elements。

游戲故事是召集形狀軍隊(duì)、打敗惡龍Osgard。在一關(guān)的開(kāi)始，屏幕上有三個(gè)點(diǎn)，沿著它們畫(huà)出個(gè)三角形，于是三角形中心處的小怪物蘇醒了，仿佛在期待我繼續(xù)走下去。然后我發(fā)現(xiàn)，這三角形的兩條邊有同樣的顏色——這代表兩邊長(zhǎng)度相等。于是我在兩條邊上各點(diǎn)一下，頓時(shí)，一股力量包圍住小怪物，把它升級(jí)成我需要的士兵——等腰三角形。游戲的每一步都暗含幾何證明，利用角、邊、平行線、圓等關(guān)系證明出各種特殊形狀后，才能將原來(lái)的三角形、四邊形“點(diǎn)化”，打敗惡龍。

Elements游戲界面

游戲的開(kāi)始集中在“教你認(rèn)圖形”，而到了后面，證明的成分越來(lái)越多。為了得到一個(gè)正方形士兵，我得知道所需要的全部證據(jù)（四邊相等、直角），然后倒著推要如何才能得到這些證據(jù)，再看看目前已有的證據(jù)，思考如何把中間連上……你看，為了過(guò)關(guān)，我已經(jīng)在做證明了。

從頭至尾，游戲從來(lái)不用文字介紹知識(shí)，而是通過(guò)操作來(lái)強(qiáng)化規(guī)則。例如我必須先選中四邊形，再點(diǎn)擊它的四條相等的邊，才能證明它是菱形，憑直覺(jué)蒙混過(guò)關(guān)是不可能的。在一次次的重復(fù)中，“四條邊都相等的四邊形是菱形”的概念被逐漸強(qiáng)化，這比把定理抄寫(xiě)在本子上高明太多了。

這個(gè)游戲還讓我想起一個(gè)教育學(xué)的研究（FT Hu et al., 2015）。研究者讓兩組孩子學(xué)習(xí)同樣的幾何題，不過(guò)一組按照要求用食指描畫(huà)例題中的圖形，而另一組要把手放在大腿上。在接下來(lái)的測(cè)試中，能用手指描畫(huà)的組學(xué)習(xí)效果明顯更好，也認(rèn)為學(xué)得更輕松。可見(jiàn)，綜合運(yùn)用觸覺(jué)、動(dòng)覺(jué)，比單單“用眼睛學(xué)習(xí)”效果來(lái)得好。

觸覺(jué)幫助學(xué)習(xí)

Elements成功地調(diào)動(dòng)了孩子的手指。更關(guān)鍵的是，它調(diào)動(dòng)了孩子的興趣——相比于卷子上死氣沉沉的線條，這才是真正的、活起來(lái)的幾何。

縱觀三款DragonBox系列游戲，其關(guān)鍵特征在于對(duì)每項(xiàng)學(xué)習(xí)內(nèi)容的精準(zhǔn)把握與提煉，并將學(xué)習(xí)核心與游戲機(jī)制完美的融合。Algebra的方程操作規(guī)則、Numbers的數(shù)字概念、Elements的幾何定理，與游戲交互性強(qiáng)、即時(shí)反饋、直觀性強(qiáng)的特點(diǎn)融合在一起，讓人不禁喟嘆：不再躲在算式背后的數(shù)學(xué)原來(lái)這么美。

隨著年級(jí)的增高，學(xué)生將完成從形象思維到邏輯思維、從具象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)變，數(shù)學(xué)游戲的輔助作用越來(lái)越弱。學(xué)生們終將獨(dú)自面對(duì)艱難的題海。但我愿相信，這些在啟蒙時(shí)便把數(shù)學(xué)當(dāng)做玩伴的孩子們，起碼會(huì)有挑戰(zhàn)困難的勇氣。

那個(gè)曾在方程課堂上屢受挫折的數(shù)學(xué)老師Huynh，現(xiàn)已成為教育軟件公司W(wǎng)eWantToKnow的創(chuàng)建者（我所介紹的DragonBox系列游戲均出自它）。他說(shuō)：“我特別喜歡一句話，預(yù)測(cè)未來(lái)的最好方式是把它創(chuàng)造出來(lái)”。

所以你看，水晶球和魔法棒都在我們手里，那就讓未來(lái)發(fā)生吧。

【注】寫(xiě)作本文是受到《游戲改變教育》中“無(wú)字?jǐn)?shù)學(xué)”章節(jié)的啟發(fā)，強(qiáng)烈推薦這本書(shū)。

參考文獻(xiàn)：

Hu, F. T., Ginns, P., & Bobis, J. (2015). Getting the point: tracing worked examples enhances learning. Learning and Instruction, 35, 85-93.